Question

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=

2

，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)AC與BD交于點G，則在平面BDE中，可以先證明四邊形AGEF為平行四邊形?EG∥AF，就可證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）先以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz．把對應(yīng)各點坐標求出來，可以推出

CF

•

BE

=0和

CF

•

DE

=0，就可以得到CF⊥平面BDE
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到

CF

=（

2

2

，

2

2

，1），是平面BDE的一個法向量，再利用平面ABE的法向量

n

•

BA

=0和

n

•

BE

=0，求出平面ABE的法向量

n

，就可以求出二面角A-BE-D的大小．

解答：解：證明：（I）設(shè)AC與BD交于點G，
因為EF∥AG，且EF=1，AG=

1

2

AC=1，
所以四邊形AGEF為平行四邊形．所以AF∥EG．
因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（II）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD．
如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz．
則C（0，0，0），A（

2

，

2

，0），D（

2

，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)（

2

2

，

2

2

，1）．
所以

CF

=（

2

2

，

2

2

，1），

BE

=（0，-

2

，1），

DE

=（-

2

，0，1）．
所以

CF

•

BE

=0-1+1=0，

CF

•

DE

=-1+0+1=0．
所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE
（III）由（II）知，

CF

=（

2

2

，

2

2

，1），是平面BDE的一個法向量，
設(shè)平面ABE的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

BA

=0，

n

•

BE

=0．
即

(x，y，z)•( 2 ，0，0)=0 (x，y，z)•(0，- 2 ，1)=0

所以x=0，且z=

2

y．令y=1，則z=

2

．所以n=（0，1，

2

），從而cos（

n

，

CF

）=

n • CF

| n | •| CF |

=

3

2

因為二面角A-BE-D為銳角，所以二面角A-BE-D為

π

6

．

點評：本題綜合考查直線和平面垂直的判定和性質(zhì)和線面平行的推導以及二面角的求法．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．當然也可以用面面平行來推導線面平行．