Question

求函數(shù)f（x）=（4-3a）x²-2x+a在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類討論，再確定二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間[0，1]的關(guān)系，即可求得最大值．

解答：解：（1）當(dāng)4-3a=0，即a=

4

3

時(shí)，f（x）=-2x+a為[0，1]上的減函數(shù)，所以f（x）的最大值f（0）=a
（2）當(dāng)4-3a＞0，即a＜

4

3

時(shí)，函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，因此函數(shù)在x∈[0，1]時(shí)的最大值為f（0）或f（1），
∵f（0）=a，f（1）=4-3a-2+a=2-2a，
∴f（0）-f（1）=3a-2
①當(dāng)a=

2

3

時(shí)，f（0）=f（1）=

2

3

，函數(shù)的最大值是

2

3

；
②當(dāng)a＜

2

3

時(shí)，f（0）＜f（1），函數(shù)的最大值為f（1）=2-2a
③當(dāng)

2

3

＜a＜

4

3

時(shí)，f（0）＞f（1），函數(shù)的最大值為f（0）=a
（3）當(dāng)4-3a＜0，即a＞

4

3

時(shí)，函數(shù)圖象是開口向下的拋物線，關(guān)于直線x=

1

4-3a

對(duì)稱
∵

1

4-3a

＜0
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，函數(shù)的最大值為f（0）=a
綜上所述，得f（x）的最大值為g（a）=

a，a≥ 2 3 2-2a，a＜ 2 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查含有字母參數(shù)的函數(shù)的最大值，著重考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題