已知函數(shù)f（x）=
2
sin（2x+
π
4
），x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．
分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的周期性及求法，從而求得結(jié)果．
（Ⅱ） 由于 函數(shù)f（x）在區(qū)間[-
π
4
，
π
8
]上是增函數(shù)，在區(qū)間[
π
8
，
π
4
]上是減函數(shù)，求得f（-
π
4
）、f（
π
8
）、
f（
π
4
）的值，比較可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=
2
sin（2x+
π
4
），x∈R，∴最小正周期為T=
2π
2
=π．
（Ⅱ）令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，解得 kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
 k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]，k∈z．
令 2kπ+
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，解得 kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+
π
8
kπ+
5π
8
]，k∈z．
再由x∈[-
π
4
，
π
4
]，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-
π
4
，
π
8
]上是增函數(shù)，在區(qū)間[
π
8
，
π
4
]上是減函數(shù)．
又f（-
π
4
）=-1，f（
π
8
）=
2
，f（
π
4
）=1，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值分別為
2
 和-1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的周期性和求法，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的單調(diào)性和值域，屬于中檔題．
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1
x
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