Question

（必修3做）設(shè)計一個求

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

99×100

的值的程序框圖．
（必修5做）請畫出以A（3，-1）、B（-1，1）、C（1，3）為頂點的△ABC的區(qū)域（包括邊界），寫出表示該區(qū)域的二元一次不等式組，并求出以該區(qū)域為可行域的目標函數(shù)z=3x-2y的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）這是一個累加求和問題，共99項相加，可設(shè)計一個計數(shù)變量，一個累加變量，用循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)這一算法．
（2）本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據(jù)已知的可行域，給出對應(yīng)的約束條件，處理的方法遵循“線定界，點定域”，再使用角點法，求出目標函數(shù)的最大值．

解答：（必修3做） 解：程序框圖如下：

（必修5做）解：如圖所示：△ABC的區(qū)域是如圖的陰影部分，
直線AB的方程為：x+2y-1=0，BC及CA的直線方程分別是：x-y+2=0，2x+y-5=0．（1分）
在△ABC的內(nèi)部取一點P（1，1），分別代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5，
得x+2y-1＞0，x-y+2＞0，2x+y-5＜0，（3分）
因此所求區(qū)域的不等式組為

x+2y-1≥0 x-y+2≥0 2x+y-5≤0

（4分）
作平行于直線3x-2y=0的直線系l：3x-2y=z，（5分）
當直線y=

3

2

x-

z

2

過A（3，-1）時，直線l在y軸上的截距-

z

2

有最小值-

11

2

此時z有最大值11．（7分）
當直線y=

3

2

x-

z

2

過B（-1，1）時，直線l在y軸上的截距-

z

2

有最大值

5

2

，
此時z有最小值是-5（9分）
故函數(shù)z=3x-2y
在約束條件

x+2y-1≥0 x-y+2≥0 2x+y-5≤0

下的最大值是11，最小值是-5．（10分）

點評：（1）本題主要考查設(shè)計程序框圖解決實際問題．在一些算法中，也經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)．循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件分支結(jié)構(gòu)來判斷．在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變量．計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果，計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次．
（2）用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數(shù)．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解．