Question

【題目】已知，數(shù)列的前n項和為，且；數(shù)列的前n項和為，且滿足，且.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）設，問：數(shù)列中是否存在不同兩項，（，i，），使仍是數(shù)列中的項?若存在，請求出i，j；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）存在，，

【解析】

（1）先根據(jù)，求出，再根據(jù)可得，然后兩式作差，得到，再求出首項，進而可得數(shù)列的通項公式；
（2）根據(jù)，通過遞推，可證數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出通項公式；
（3）由，假設數(shù)列中存在不同兩項，（，，），然后根據(jù)條件找出滿足條件的，值即可.

（1）∵數(shù)列的前n項和為，且滿足

∴，

由，得.
∴，且，即.
∴數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列

∴

（2）∵①

時，②

①②得

∴，

時，，∴

∴

∴為等差數(shù)列

∴

（3），假設中存在不同的兩項，（），使（）

注意到.

∴單調(diào)遞增

由，則.

∴

令（），∴

∴

∵

∴，而

∴，

令，則

∴為單調(diào)遞增，注意到時，，

∴m只能為1，2，3

①當時，

∴，故i只能為1，2，3

當時，，此時

當時，，此時無整數(shù)解，舍

當時，，此時，無正整數(shù)解，舍去

②當時，，此時

∴，此時，無解

③當時，，此時，無正整數(shù)解，舍去.

綜上：存在，滿足題意.