Question

【題目】已知：函數(shù)f（x）= x2+ax﹣2a2lnx，（a≠0）． （I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函數(shù) 的定義域?yàn)椋?，+∞） ∴ = =
∵a＞0，令f′（x）=0，則x=﹣2a（舍去），或x=a
∵當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，∵當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴（0，a）為函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間，
（a，+∞）為函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）由（I）得當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取最小值 a2﹣2a2lna
若f（x）＞0恒成立
則 a2﹣2a2lna= a2（3﹣4lna）＞0
即3﹣4lna＞0
解得a＜
又∵a＞0，
∴a的取值范圍為（0， ）
【解析】（I）先求出函數(shù)的定義域，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)在不同區(qū)間上的取值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可得結(jié)論；（II）若f（x）＞0恒成立，則f（x）的最小值大于0，根據(jù)（I）中結(jié)論，求出函數(shù)的最小值，代入構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．