Question

如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為2a的正方形，周圍是四個全等的弓形．已知O為正方形的中心，G為AD的中點，點P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點H．設(shè)弧AD的長為l，．（1）求l關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當(dāng)優(yōu)美系數(shù)最大時，招貼畫最優(yōu)美．證明：當(dāng)角θ滿足：時，招貼畫最優(yōu)美．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對θ所在范圍分情況求解，最后綜合即可；
（2）先根據(jù)條件求出OP=a-，θ∈（，）；進而得到=，然后借助于兩次求導(dǎo)求出函數(shù)的最大值點即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)θ∈（，）時，點P在線段OG上，AP=；
當(dāng)θ∈（，）時，點P在線段GH上，AP==；
當(dāng)θ=時，AP=a．
綜上所述AP=，θ∈（，），
所以，弧AD的長L=AP•2θ=．
故所求函數(shù)關(guān)系式為L=，θ∈（，）．
（2）證明：當(dāng)θ∈（，）時，OP=OG-PG=a-=a-；
當(dāng)θ∈（，）時，OP=OG+GH=a+=a-=a-；
當(dāng)θ=時，OP=a．
所以，OP=a-，θ∈（，）．
從而，=，θ∈（，）．
記f（θ）=，θ∈（，）．
則f′（θ）=
令f′（θ）=0得θ（cosθ+sinθ）=sinθ-cosθ
因為θ∈（，）所以cosθ+sinθ≠0，從而θ=，
顯然θ≠，所以θ===tan（θ-）
記滿足θ=tan（θ-）的θ=θ．下面證明θ是函數(shù)f（θ）的極值點．
設(shè)g（θ）=θ（cosθ+sinθ）-（sinθ-cosθ），θ∈（，），
則g′（θ）=θ（cosθ-sinθ）＜0上θ∈（，）恒成立．
從而g（θ）在θ∈（，）上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)θ∈（，θ）時g（θ）＞0，即f′（θ）＞0，f（θ）在（，θ）上單調(diào)遞增，
當(dāng)θ∈（θ，）時，g（θ）＜0，即f′（θ）＜0，f（θ）在（θ，）上單調(diào)遞減．
故f（θ）在θ=θ．處取得極大值也是最大值．
所以：當(dāng)θ滿足θ=tan（θ-）時，函數(shù)f（θ）即取得最大值，此時招貼畫最優(yōu)美．
點評：本題主要考察解三角形在生活中的應(yīng)用問題．解決本題的第二問時涉及到了兩次求導(dǎo)來求函數(shù)的最值，難度較大．