Question

如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為2a的正方形，周圍是四個全等的弓形．已知O為正方形的中心，G為AD的中點，點P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點H．設弧AD的長為l，．
（1）求l關于θ的函數(shù)關系式；
（2）定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當優(yōu)美系數(shù)最大時，招貼畫最優(yōu)美．證明：當角θ滿足：時，招貼畫最優(yōu)美．

Answer 1

解：（1）當θ∈時，點P在線段OG上，AP=；
當θ∈時，點P在線段GH上，AP=；
當θ=時，AP=a．
綜上所述AP=，θ∈，
所以，弧AD的長L=．
故所求函數(shù)關系式為L=，θ∈．
（2）證明：當θ∈（，）時，OP=OG﹣PG=a﹣；
當θ∈時，OP=OG+GH=a+；
當θ=時，OP=a．
所以，OP=a﹣，θ∈．
從而，，θ∈．

所以：當θ滿足θ=tan（θ﹣）時，函數(shù)f（θ）即取得最大值，此時招貼畫最優(yōu)美．