Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若這個(gè)三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面都是正方形，求五面體的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由條件證明為平行四邊形，故得，然后再由線面平行的判定定理可得結(jié)論成立．（Ⅱ）方法一：取的中點(diǎn)為，連接，然后證明為四棱錐的高，于是可得所求體積．方法二：取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件可證得是四棱錐的高，且，然后根據(jù) 求解．

（Ⅰ）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，.

∵，分別為，的中點(diǎn)，

∴且.

∵為的中點(diǎn)，

∴且.

∴且，

∴為平行四邊形，

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（Ⅱ）解法一：取的中點(diǎn)為，連接，

∵為等邊三角形，

∴.

∵側(cè)面是正方形，

∴，.

又平面，且，

∴平面.

∵平面，

∴，

又，

∴平面，即為四棱錐的高.

故所求體積 .

（Ⅱ）解法二：取的中點(diǎn)，連接，

∵為等邊三角形，

∴.

∵側(cè)面都是正方形，

∴，.

∵平面且，

∴平面.

∵平面，

∴，

∵，

∴平面.

∴是四棱錐的高，且.

故所求體積

.