Question

【題目】如圖，在直角梯形SABC中，，D為邊SC上的點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿AD折起到達(dá)的位置（折起后點(diǎn)S記為P），并使得.

（1）求證：平面ABCD；

（2）設(shè)，

①若點(diǎn)E在線段BP上，且滿足，求平面EAC與平面PDC所成的銳二面角的余弦值

②設(shè)G是AD的中點(diǎn)，則在內(nèi)（含邊界）是否存在點(diǎn)F，使得平面PBC？若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①②平面PBC上存在點(diǎn)F，當(dāng)F為PB中點(diǎn)時(shí)，平面PBC

【解析】

（1）由題可得先證得平面PAD,即,又有,可得,進(jìn)而證得平面ABCD；

（2）①以D為原點(diǎn),DA,DC,DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,分別求得各點(diǎn)坐標(biāo),則,,,由可得,則,分別求得平面EAC與平面PDC的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求得法向量夾角余弦值,從而得解；

②可推測點(diǎn)F為棱PB中點(diǎn)時(shí)滿足條件,取PC中點(diǎn)M,連結(jié)MD,MF,可得,即可將問題轉(zhuǎn)化為平面PBC,利用等腰直角求證即可

證明：（1）,

平面PAD,

平面PAD,

,

,

,

,

平面ABCD

（2）由（1）知,

故DA,DC,DP兩兩垂直,

以D為原點(diǎn),DA,DC,DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖,

則,

則,,,

①設(shè)平面EAC與平面PDC所成的銳二面角為,

,

,

,

設(shè)是平面ACE的一個(gè)法向量,

則,即，

不妨取,得,

因?yàn)?/span>平面PCD,則是平面PCD的一個(gè)法向量,

則,

故平面EAC與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為

②存在,點(diǎn)F為棱PB中點(diǎn)時(shí),滿足平面PBC,證明如下：

當(dāng)點(diǎn)F為棱PB中點(diǎn)時(shí),取PC中點(diǎn)M,連結(jié)MD,MF,

則且,

四邊形DGFM為平行四邊形,

,

又等腰直角中,,

,

平面PDC,平面PDC,

,又,

平面PBC,

平面PBC