Question

若拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)P₁，P₂，已知|P₁P₂|=8．
（1）過點(diǎn)M（3，0）且斜率為a的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△FAB的面積S（a）及其值域．
（2）設(shè)m＞0，過點(diǎn)N（m，0）作直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，若∠AFB恒為鈍角，試求出m的取值范圍．

Answer 1

（1）由條件得2p=8，∴拋物線C的方程為y²=8x，
設(shè)過M所作直線方程為y=a（x-3）代入y²=8x得ay²-8y-24a=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=

8

a

，y₁y₂=-24，
∴S（a）=

1

2

|MF||y₁-y₂|=2

6+ 4 a2

＞2

6

∴值域?yàn)椋?

6

，+∞）；
（2）設(shè)直線方程為ty=x-m，代入y²=8x得y²-8ty-8m=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8t，y₁y₂=-8m
∵F（2，0），∴

FA

=（x₁-2，y₁），

FB

=（x₂-2，y₂），
∵∠AFB為鈍角，∴

FA

•

FB

＜0，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
即x1x2-2（x1+x2）+4-8m＜0，
∴

(y1y2)2

64

-2[t（y₁+y₂）+2m]+4-8m＜0，
因此m²-12m+4＜0，∴6-4

2

＜m＜6+4

2

∵m≠2，∴m的范圍是（6-4

2

，2）∪（2，6+4

2

）．