Question

【題目】設(shè)函數(shù)對任意、都有，且當時，.

（1）證明為奇函數(shù)；

（2）證明在R上是減函數(shù)；

（3）若，求在區(qū)間上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）最大值為，最小值為.

【解析】

（1）令求得的值，再令可得出，由此可得出結(jié)論；

（2）任取，利用題干中的等式以及該函數(shù)的奇偶性可得出，得出與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論；

（3）計算出和的值，利用（2）中的結(jié)論可得出結(jié)果.

（1）由于函數(shù)對任意、都有，

該函數(shù)的定義域為，令，可得，

再令，可得，即，，

因此，函數(shù)為奇函數(shù)；

（2）設(shè)，則，

，則，所以，，

因此，函數(shù)在上是減函數(shù)；

（3）因為函數(shù)在上是減函數(shù)，

所以，函數(shù)在上也是減函數(shù)，

所以，函數(shù)在上的最大值和最小值分別為和，

而，，

因此，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.