【題目】在平面直角坐標系中取兩個定點，，再取兩個動點，，且.

(1)求直線與的交點的軌跡的方程；

(2)過的直線與軌跡交于兩點，過點作軸且與軌跡交于另一點，為軌跡的右焦點，若，求證：

【答案】(1)； (2)證明見解析

【解析】

(1)由直線所過兩點可得直線和的方程，設(shè)為兩直線交點，則兩方程做乘法整理可得所求軌跡方程；

(2)設(shè)過直線及坐標，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立整理可得韋達定理的形式；由可得；通過分析法可知，若要證，只需證得，將等式整理后可知最終只需證得，將韋達定理的結(jié)論代入即可知等式成立，即所證成立.

(1)由題意知，直線的方程為：…①

直線的方程為：…②

設(shè)是直線與的交點，

①×②得：，整理得：

即點的軌跡的方程為：

(2)證明：設(shè)過點的直線，，，則

由消去得：

，

由得：

由(1)知：，則要證，即證

只需證，只需

即證

又，

，即

成立 成立

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校進行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A.得分在之間的共有40人

B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在的概率為0.5

C.估計得分的眾數(shù)為55

D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某客戶考察了一款熱銷的凈水器，使用壽命為十年，改款凈水器為三級過濾，每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn).在使用過程中，一級濾芯需要不定期更換，其中每更換個一級濾芯就需要更換個二級濾芯，三級濾芯無需更換.其中一級濾芯每個元，二級濾芯每個元.記一臺凈水器在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯的個數(shù)構(gòu)成的集合為.如圖是根據(jù)臺該款凈水器在十年使用期內(nèi)更換的一級濾芯的個數(shù)制成的柱狀圖.

（1）結(jié)合圖，寫出集合；

（2）根據(jù)以上信息，求出一臺凈水器在使用期內(nèi)更換二級濾芯的費用大于元的概率（以臺凈水器更換二級濾芯的頻率代替臺凈水器更換二級濾芯發(fā)生的概率）；

（3）若在購買凈水器的同時購買濾芯，則濾芯可享受折優(yōu)惠（使用過程中如需再購買無優(yōu)惠）.假設(shè)上述臺凈水器在購機的同時，每臺均購買個一級濾芯、個二級濾芯作為備用濾芯（其中，），計算這臺凈水器在使用期內(nèi)購買濾芯所需總費用的平均數(shù).并以此作為決策依據(jù)，如果客戶購買凈水器的同時購買備用濾芯的總數(shù)也為個，則其中一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)應(yīng)分別是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.

(1)寫出的普通方程及的直角坐標方程;

(2)設(shè)點在上,點在上,求的最小值及此時點的直角坐標.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校舉行運動會，其中三級跳遠的成績在米以上的進入決賽，把所得的成績進行整理后，分成組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知第組的頻數(shù)是.

（1）求進入決賽的人數(shù)；

（2）用樣本的頻率代替概率，記表示兩人中進入決賽的人數(shù)，求得分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

超過1小時

不超過1小時

男

20

8

女

12

m

（1）求m，n；

（2）能否有95%的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)？

附：

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

K2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.如圖是趙爽弦圖及注文.弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成朱色及黃色，其面積稱為朱實、黃實.由2×勾×股+（股－勾）2=4×朱實+黃實=弦實，化簡得勾2+股2=弦2.若圖中勾股形的勾股比為，向弦圖內(nèi)隨機拋擲100顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘顆數(shù)大約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）

A.2B.4C.6D.8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為坐標原點，橢圓：的左、右焦點分別為，.過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3，直線與橢圓相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在直線：與橢圓相交于兩點，使得？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由！

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