Question

如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若f（x）=

2

，求自變量x的值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)可得A；再由函數(shù)的周期求得ω；再由函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，1），結(jié)合|?|＜

π

2

，求得 ?，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，故函數(shù)的增區(qū)間．
（3）由f（x）=

2

，求得sin（

1

2

x+

π

6

）=

2

2

，可得

1

2

x+

π

6

=2kπ+

π

4

，或

1

2

x+

π

6

=2kπ+

3π

4

，k∈z，由此求得x的值．

解答：解：（1）由函數(shù)圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)可得A=2，再由函數(shù)的周期為2[（x₀+2π）-x₀]=

2π

ω

，求得ω=

1

2

．
再由函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，1），可得2sin?=1，故sin?=

1

2

．再由|?|＜

π

2

，可得 ?=

π

6

，
故函數(shù)的解析式為 f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）．
（2）令2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，故函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，k∈z．
（3）若f（x）=

2

，則有2sin（

1

2

x+

π

6

）=

2

，sin（

1

2

x+

π

6

）=

2

2

，∴

1

2

x+

π

6

=2kπ+

π

4

，或

1

2

x+

π

6

=2kπ+

3π

4

，k∈z．
 解得 x=4kπ+

π

6

，或 x=4kπ+

7π

6

，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．