如圖,橢圓的兩頂點(diǎn)為A(
2
,0)
,B(0,1),該橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2
(1)在線段AB上是否存在點(diǎn)C,使得CF1⊥CF2?若存在,請求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(2)設(shè)過F1的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),求△PQF2面積的最大值.
由已知可得橢圓的方程為
x2
2
+y2=1
,
且有:a=
2
,b=c=1
,F(xiàn)1(-1,0),
F2(1,0),
AB
=(-
2
,1)

(1)假設(shè)存在點(diǎn)C,使得CF1⊥CF2,
則:OC=
1
2
F1F2=1
,
AC
AB
(λ∈[0,1]),
OC
=
OA
+
AC
=
OA
AB
=
(
2
,0)+λ(-
2
,1)=(
2
2
,λ)

故有:(
2
-
2
λ)2+λ2=1
,解得λ=1或λ=
1
3

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,1)或C(
2
2
3
,
1
3
)


(2)若設(shè)過F1的直線l交橢圓于P(x1,y1),Q(x2,y2),則由焦半徑公式可得:PQ=PF1+QF1=(a+ex1)+(a+ex2)=2
2
+
2
2
(x1+x2)

當(dāng)PQ⊥x軸時,x1=x2=-1,此時S△PQF2=
1
2
PQ•F1F2=PQ=2
2
-
2
=
2

當(dāng)PQ與x軸不垂直時,不妨設(shè)直線PQ的方程為y=k(x+1),(k>0),
則由:
y=k(x+1)
x2+2y2=2
得:(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,故x1+x2=-
4k2
2k2+1
,
于是可得:PQ=2
2
+
2
2
(x1+x2)=2
2
-
2
2
4k2
2k2+1
=2
2
k2+1
2k2+1

又由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)F2到PQ的距離d=
2k
k2+1

S△PQF2=
1
2
PQ•d=
1
2
•2
2
k2+1
2k2+1
2k
k2+1
=2
2
k•
k2+1
2k2+1

因?yàn)?span >2k2+1=k2+k2+1>2k•
k2+1
,
所以S△PQF2=2
2
k•
k2+1
2k2+1
2

綜上可知,當(dāng)直線PQ⊥x軸時,△PQF2的面積取到最大值
2

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
2
,且經(jīng)過點(diǎn)(4,-
10
).
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)F1、F2為雙曲線C的左、右焦點(diǎn),若雙曲線C上一點(diǎn)M滿足F1M⊥F2M,求△MF1F2的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

過點(diǎn)M(1,1)作一直線與橢圓
x2
9
+
y2
4
=1相交于A,B兩點(diǎn),若M點(diǎn)恰好為弦AB的中點(diǎn),則AB所在直線的方程為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(
2
+1),一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明k1•k2=1;
(Ⅲ)(此小題僅理科做)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的兩條漸近線為
l1,l2,過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l,使l⊥l1,又l與l2交于P,設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上至下依次為A、B(如圖).
(1)當(dāng)l1與l2的夾角為60°,且△POF的面積為
3
2
時,求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)
FA
AP
時,求當(dāng)λ取到最大值時橢圓的離心率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若橢圓
x2
4
+
y2
a2
=1與雙曲線
x2
a
-
y2
2
=1有相同的焦點(diǎn),則a的值是(  )
A.1B.-1C.±1D.2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=
5
5
,過F1的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn),且△MNF2的周長為4
5

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)AB是過橢圓E中心的任意弦,P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點(diǎn),求△APB面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知直線l:y=x+2,與拋物線x2=y交于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點(diǎn),l與x軸交于點(diǎn)C(xC,0).
(1)求證:
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
;
(2)求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積;
(3)某同學(xué)利用TI-Nspire圖形計算器作圖驗(yàn)證結(jié)果時(如圖1所示),嘗試拖動改變直線l與拋物線的方程,發(fā)現(xiàn)
1
xA
+
1
xB
1
xC
的結(jié)果依然相等(如圖2、圖3所示),你能由此發(fā)現(xiàn)出關(guān)于拋物線的一般結(jié)論,并進(jìn)行證明嗎?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C:y2=x,直線l:y=k(x-1)+1,要使拋物線C上存在關(guān)于對稱的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案