【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(ax+b)﹣x(a,b∈R,ab≠0).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)≤0恒成立,求ea(b﹣1)的最大值.
【答案】(1)討論見(jiàn)解析;(2)最大值為0
【解析】
(1)分時(shí),時(shí),兩種情況討論單調(diào)性.
(2)由(1)知:當(dāng)時(shí),取且時(shí),,與題意不合,當(dāng)時(shí),由題目中恒成立可得,,得,所以,令,只需求即可.
(1)①當(dāng)a>0時(shí),則f(x)的定義域?yàn)椋ī?/span>,+∞),
=,由f′(x)=0,
得x=1﹣>﹣,
所以f(x)在(﹣,1﹣)單調(diào)遞增,在(1﹣,+∞)單調(diào)遞減,
②當(dāng)a<0時(shí),則f(x)的定義域?yàn)椋ī?/span>∞,﹣),
由f′(x)=0得x=1﹣>﹣,
所以f(x)在(﹣∞,﹣)單調(diào)遞減.
綜上:當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(﹣,1﹣)單調(diào)遞增,在(1﹣,+∞)單調(diào)遞減.
當(dāng)a<0時(shí), f(x)在(﹣∞,﹣)單調(diào)遞減.
(2)由(1)知:當(dāng)a<0時(shí),取x0<且x0<0時(shí),
f(x0)>ln(a×+b)﹣x0>0,與題意不合,
當(dāng)a>0時(shí),f(x)max=f(1﹣)=lna﹣1+≤0,即b﹣1≤ a﹣alna﹣1,
所以ea(b﹣1)≤(a﹣alna﹣1)ea,令h(x)=(x﹣xlnx﹣1)ex,
則h′(x)=(x﹣xlnx﹣lnx﹣1)ex,
令u(x)=x﹣xlnx﹣lnx﹣1,則u′(x)=﹣lnx﹣,
則u″(x)=,
u′(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
則u′(x)max=u′(1)<0,
從而u(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,又因?yàn)?/span>u(1)=0.
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),u(x)>0,即h′(x)>0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),u(x)<0,即h′(x)<0,
則h(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減,
所以h(x)max=h(1)=0.
所以ea(b﹣1)的最大值為0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)有二元關(guān)系,已知曲線.
(1)若時(shí),正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線上,求正方形的面積;
(2)設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)是,拋物線與軸的交點(diǎn)是,直線與曲線交于,直線與曲線交于,求證直線過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)是,,可知?jiǎng)狱c(diǎn)在某確定的曲線上運(yùn)動(dòng),曲線上與上述曲線在時(shí)共有4個(gè)交點(diǎn),其坐標(biāo)分別是、、、,集合的所有非空子集設(shè)為,將中的所有元素相加(若只有一個(gè)元素,則和是其自身)得到255個(gè)數(shù),求所有正整數(shù)的值,使得是一個(gè)與變數(shù)及變數(shù)均無(wú)關(guān)的常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的正方形的中心為,、、、為圓上點(diǎn),,,,分別是以,,,為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以,,,為折痕折起,,,,使得、、、重合,得到四棱錐.當(dāng)該四棱錐體積取得最大值時(shí),正方形的邊長(zhǎng)為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,1),拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點(diǎn)為F,連接FA,與拋物線C相交于點(diǎn)M,延長(zhǎng)FA,與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,若|FM|:|MN|=1:2,則實(shí)數(shù)a的值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,每個(gè)側(cè)面均為正方形,D為底邊AB的中點(diǎn),E為側(cè)棱的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)若,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究,得出如下的結(jié)論:
函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心;
函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱;
存在常數(shù),使對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)為數(shù)列前項(xiàng)的和,,數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,則稱為數(shù)列與的公共項(xiàng),將數(shù)列與的公共項(xiàng),按它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新數(shù)列,求的值;
(3)是否存在正整數(shù)、、使得成立,若存在,求出、、;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的范圍是( )
A. B. C. D.
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