Question

（2012•煙臺(tái)二模）已知函數(shù)f（x）=ax_³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時(shí)為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，若不等式f'（x）＞-

1

3

對(duì)任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，討論關(guān)于x的方程f（x）=k在[-1，+∞）上實(shí)數(shù)根的情況．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用不等式f'（x）＞-

1

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對(duì)任意x∈R恒成立，可得x²+2bx+b＞0恒成立，利用判別式可得b的取值范圍；
（2）利用函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，求出函數(shù)解析式，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，再分類討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=

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時(shí)，f′（x）=x²+2bx+b-

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，
依題意f′（x）=x²+2bx+b-

1

3

＞

1

3

，即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得0＜b＜1
所以b的取值范圍是（0，1）；
（2）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），∴b=0，∴函數(shù)f（x）=ax³-ax
∴f′（x）=3ax²-a
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0
∴a=1
∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1
∴f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上單調(diào)遞增，在（-

3

3

，

3

3

）上單調(diào)遞減
由f（x）=0得x=±1，x=0
f（x）在[-1，+∞）上圖象如圖所示
∵f（-

3

3

）=

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9

，f（

3

3

）=-

2 3

9

，
∴當(dāng)k＜-

2 3

9

時(shí)，f（x）=k在[-1，+∞）上沒有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)k＞

2 3

9

或k=-

2 3

9

時(shí)，f（x）=k在[-1，+∞）上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)k=

2 3

9

或-

2 3

9

＜k＜0時(shí)，f（x）=k在[-1，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)0＜k＜

2 3

9

時(shí)，f（x）=k在[-1，+∞）上有三個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查方程根的討論，屬于中檔題．