設(shè)命題P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩個實根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[-1,1]恒成立,命題Q:函數(shù)f(x)=lg[4x2+(m-2)x+1]的值域為全體實數(shù),若P且Q為真,試求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:由題設(shè)知x1+x2=a且x1+x2=-2,所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=a2+8≤3,由題意,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[1,1]恒成立的m的解集等于不等式|m2-5m-3|≥3的解集,由此知當(dāng)m≤1或0≤m≤5或m≥6時,P是正確的.
要使函數(shù)f(x)=lg[4x2+(m-2)x+1]的值域為全體實數(shù),則△=(m-2)2-16≥0,∴m≥6或m≤-2,再利用P且Q為真,故問題得解.
解答:解:由題設(shè)知x1+x2=a且x1+x2=-2,所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=a2+8,當(dāng)a∈[-1,1]時,a2+8的最大值為9,
即|x1-x2|≤3
由題意,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實數(shù)a∈[1,1]恒成立的m的解集等于不等式|m2-5m-3|≥3的解集,由此不等式得m2-5m-3≤-3①或m2-5m-3≥3②
不等式①的解為0≤m≤5不等式②的解為m≤1或m≥6因為,對m≤1或0≤m≤5或m≥6時,P是正確的.
函數(shù)f(x)=lg[4x2+(m-2)x+1]的值域為全體實數(shù),則△=(m-2)2-16≥0,∴m≥6或m≤-2
∵P且Q為真,∴m≥6或m≤-2
點評:本題考查命題真假的判斷的應(yīng)用,難度較大,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意公式的靈活運用.