Question

設(shè)命題P：x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-1，1]恒成立，命題Q：不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，若P且Q為真，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，而|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2- 4x1x2

代入結(jié)合a得范圍可求|x₁-x₂|的最大值，結(jié)合已知可得|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|_max在a∈[-1，1]成立即可，從而可求P對(duì)應(yīng)的m得范圍；再由不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，則只要f（x）_max＞1，從而可求Q所對(duì)應(yīng)的m的范圍，由P且Q為真可知P，Q都為真命題，即可求

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2
∴|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2- 4x1x2

=

a2+8

當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)，

a2+8

∈[2

2

，3]
∵不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[-1，1]恒成立
則只要|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|_max在a∈[-1，1]成立即可
∴|m²-5m-3|≥3
∴m²-5m-3≥3或m²-5m-3≤-3
即m²-5m-6≥0或m²-5m≤0
解不等式可m²-5m-6≥0得，m≥6或m≤-1
解不等式m²-5m≤0得，0≤m≤5
綜上可得，P：m≥6或m≤-1或0≤m≤5
∵不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解
令f（x）=|x-2m|-|x|=

2m，x≤0 -2x+2m，0＜x＜m -2m，x≥2m

，
結(jié)合該函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的最大值為2m，最小值為-2m
若使得不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，則只要f（x）_max＞1即2m＞1即可
Q：m＞

1

2

∵P且Q為真
∴P，Q都為真命題
∴

m＞ 1 2 m≥6或m≤-1或0≤m≤5

∴m≥6或

1

2

＜m≤5

點(diǎn)評(píng)：本題目主要考查了復(fù)合命題的真假判斷的應(yīng)用，解題得關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的知識(shí)準(zhǔn)確求出命題P，Q為真時(shí)的m的取值范圍．