Question

22.如圖，已知點F(1，0)，直線l：x=-1,P為平面上的動點，過P作l的垂線，垂足為點Q，且

·

(I)求動點P的軌跡C的方程;

(II)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M.

(1)已知的值;

(2)求||·||的最小值.

Answer 1

本小題考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力.

解法一：(I)設(shè)點P(x,y),則Q(-1，y),由得：

(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡得C：y²=4x.

(II)(1)設(shè)直線AB的方程為：

x=my+1(m≠0).

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),又M(-1,-).

聯(lián)立方程組,消去x得：

y²-4my-4=0,

△     =(-4m)²+12＞0,

由得：

，整理得：

,

∴

=

=-2-

=0.

解法二：(I)由

∴·，

∴=0,

∴

所以點P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y²=4x.

(II)(1)由已知

則：…………①

過點A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A₁、B₁,

則有：…………②

由①②得：

(II)(2)解：由解法一：

·＝()²|y₁-y_M||y₂-y_M|

                       =(1+m²)|y₁y₂-y_M(y₁+y₂)+y_M²|

                       =(1+m²)|-4+  ×4m+|
                       =

                       =4(2+m²+)  4(2+2)=16.

當(dāng)且僅當(dāng)，即m=1時等號成立，所以·最小值為16.