【題目】如圖，在三棱錐中，是正三角形，為其中心.面面，，，是的中點(diǎn)，.

（1）證明：面；

（2）求與面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）連結(jié)，由重心的性質(zhì)可得在中有，則，結(jié)合線面平行的判定定理可得平面.

（2）解法一：作 交的延長線于，作 交的延長線于，由題意可得為與面所成角，.

解法二：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.可得，面的法向量為，則所求角的正弦值.

試題解析：

（1）連結(jié)，因?yàn)?/span>是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，

所以，又平面， 平面，

所以平面.

（2）解法一：作 交的延長線于，作 交的延長線于，

由面面知面，所以，又 ，所以

所以面,所以面面，作，則面

連結(jié)，則為與面所成角，

∴，即所求角的正弦值為.

解法二：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵，

∴，， ， ，

∴，，，.

設(shè)面的法向量為，則

取，

∴，即所求角的正弦值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正方體中， 在線段上運(yùn)動(dòng)且不與， 重合，給出下列結(jié)論：

①；

②平面；

③二面角的大小隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化；

④三棱錐在平面上的投影的面積與在平面上的投影的面積之比隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化；

其中正確的是（ ）

A. ①③④ B. ①③

C. ①②④ D. ①②

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖， 弧AC 長為 ，弧A1B1 長為 ，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè)．

（1）求圓柱的體積與側(cè)面積；
（2）求異面直線O1B1與OC所成的角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為

X

1

2

3

4

5

P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．

(1)求事件：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；

(2)求Y的分布列及E(Y)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知 R，函數(shù) = ．
（1）當(dāng) 時(shí)，解不等式 ＞1；
（2）若關(guān)于 的方程 + =0的解集中恰有一個(gè)元素，求 的值；
（3）設(shè) ＞0，若對任意 ，函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值的差不超過1，求 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之差為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）若的面積為，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距處海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距處海里的處的我方輯私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以海里/小時(shí)的速度，以處向北偏東方向逃竄．問：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列四個(gè)類比中，正確的個(gè)數(shù)為

（1）若一個(gè)偶函數(shù)在R上可導(dǎo)，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)。將此結(jié)論類比到奇函數(shù)的結(jié)論為：若一個(gè)奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)。

（2）若雙曲線的焦距是實(shí)軸長的2倍，則此雙曲線的離心率為2.將此結(jié)論類比到橢圓的結(jié)論為：若橢圓的焦距是實(shí)軸長的一半，則此橢圓的離心率為.

（3）若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為1，則該數(shù)列的第2項(xiàng)為.將此結(jié)論類比到等比數(shù)列的結(jié)論為：若一個(gè)等比數(shù)列的前3項(xiàng)積為1，則該數(shù)列的第2項(xiàng)為1

（4）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長比為1：2，則它們的面積比為1：4.將此結(jié)論類比到空間中的結(jié)論為：在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長比為1：2，則它們的體積比為1：8.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，△內(nèi)接于圓，是圓的直徑，四邊形為平行四邊形，平面，.

（1）求證：⊥平面；

（2）設(shè)，表示三棱錐的體積，求函數(shù)的解析式及最大值.

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