Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，x∈[2，5]．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（2）求不等式f（m+1）＜f（2m﹣1）的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解： ；

f（x）在[2，5]上單調(diào)遞減，證明如下：

設(shè)x1，x2∈[2，5]，且x1＜x2，則：

= ；

∵x1，x2∈[2，5]，且x1＜x2；

∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0；

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在[2，5]上單調(diào)遞減

（2）解：f（x）在[2，5]上單調(diào)遞減；

∴由f（m+1）＜f（2m﹣1）得：

；

解得1≤m＜2；

∴原不等式的解集為[1，2）

【解析】（1）分離常數(shù)即可得到 ，容易看出f（x）在[2，5]上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)定義，設(shè)任意的x1 ， x2∈[2，5]，并且x1＜x2 ， 然后作差，通分，證明f（x1）＞f（x2），從而得出f（x）的單調(diào)性；（2）根據(jù)f（x）的定義域及單調(diào)性便可由原不等式得出關(guān)于m的不等式組，解出m的范圍，這樣即得出原不等式的解集．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解奇偶性與單調(diào)性的綜合(奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性)．