Question

【題目】平面圖形很多可以推廣到空間中去，例如正三角形可以推廣到正四面體，圓可以推廣到球，平行四邊形可以推廣到平行六面體，直角三角形也可以推廣到直角四面體，如果四面體中棱兩兩垂直，那么稱四面體為直角四面體. 請類比直角三角形中的性質(zhì)給出2個直角四面體中的性質(zhì)，并給出證明.（請?jiān)诮Y(jié)論中選擇1個，結(jié)論4，5中選擇1個，寫出它們在直角四面體中的類似結(jié)論，并給出證明，多選不得分，其中表示斜邊上的高，分別表示內(nèi)切圓與外接圓的半徑）

	直角三角形	直角四面體
條件
結(jié)論1
結(jié)論2
結(jié)論3
結(jié)論4
結(jié)論5

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

結(jié)論1：分別表示，然后證明

結(jié)論2：在中利用等面積法，表示出高，然后分別表示，再證明

結(jié)論3：利用結(jié)論2中得到的的表達(dá)式，再表示出，再證明

結(jié)論4：內(nèi)切球的球心與四個頂點(diǎn)相連接，把三棱錐分成四個小的三棱錐，利用進(jìn)行證明

結(jié)論5：將直角四面體補(bǔ)形成為以為長、寬、高的長方體，再進(jìn)行證明.

記的面積依次為，

平面與所成角依次為，

點(diǎn)到平面的距離為分別表示內(nèi)切球與外接球的半徑，內(nèi)切球的球心為，

	直角三角形	直角四面體
條件
結(jié)論1
結(jié)論2
結(jié)論3
結(jié)論4
結(jié)論5

證明：設(shè)，

過作，垂足為，聯(lián)結(jié)，過作，垂足為，

易證：，平面，則，

結(jié)論1：，

在中，，

s

；

結(jié)論2：，

∴。

同理，，

∴；

結(jié)論3：∵，∴，

又，

∴

結(jié)論4：，

∴.

從而，即；

結(jié)論5：將直角四面體補(bǔ)形成為以為長、寬、高的長方體，

則長方體的體對角線即為直角四面體ABCD的外接球的直徑，即.