【題目】如圖, 是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn), 垂直于圓所在的平面,且.
(1)若為線段的中點(diǎn),求證平面;
(2)求三棱錐體積的最大值;
(3)若,點(diǎn)在線段上,求的最小值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3).
【解析】試題分析:
(1)由等腰三角形三線合一可得,由線面垂直的定義可得,最后利用線面垂直的判斷定理可得平面.
(2)當(dāng)?shù)酌?/span>ABC面積最大時(shí),三棱錐體積由最大值,由幾何關(guān)系可得當(dāng)時(shí), 面積的最大值為,結(jié)合三棱錐體積公式可得三棱錐體積的最大值為.
(3)將將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面C,使之與平面共面,由平面幾何的知識(shí)可知, , 共線時(shí), 取得最小值.結(jié)合箏形的性質(zhì)計(jì)算可得的最小值為.
試題解析:
(1)在中,因?yàn)?/span>, 為的中點(diǎn),所以.
又垂直于圓所在的平面,所以.
因?yàn)?/span>,所以平面.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,所以當(dāng)時(shí), 到的距離最大,且最大值為.
又,所以面積的最大值為.
又因?yàn)槿忮F的高,
故三棱錐體積的最大值為.
(3)在中, , ,所以.
同理,所以.在三棱錐中,將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面C,使之與平面共面,如圖所示.
當(dāng), , 共線時(shí), 取得最小值.
又因?yàn)?/span>, ,所以垂直平分,即為中點(diǎn).
從而,
亦即的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí),高一某班共有28名同學(xué)參加比賽,每人至多報(bào)兩個(gè)項(xiàng)目.15人參加游泳,8人參加田徑,14人參加球類.同時(shí)參加游泳和田徑的有3人,同時(shí)參加游泳和球類的有3人,則只參加一個(gè)項(xiàng)目的有______人.
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【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,垂直于底面,.
(1)求平面與平面所成二面角的大;
(2)設(shè)棱的中點(diǎn)為,求異面直線與所成角的大小.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)是曲線上一點(diǎn),若點(diǎn)到曲線的最小距離為,求的值.
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【題目】如圖,多面體中, 是正方形, 是梯形, , , 平面且, 分別為棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求平面和平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】如圖所示,橢圓的短軸為,,離心率,為第一象限內(nèi)橢圓上的任意一點(diǎn),設(shè)軸于,為線段的中點(diǎn),過(guò)作直線軸.
(1)求橢圓的方程;
(2)若的縱坐標(biāo)為,求直線截橢圓所得的弦長(zhǎng);
(3)若直線交直線于,為直線上一點(diǎn),且為原點(diǎn)),證明:為線段的中點(diǎn).
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【題目】十九大指出中國(guó)的電動(dòng)汽車革命早已展開(kāi),通過(guò)以新能源汽車替代汽/柴油車,中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.2018年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過(guò)市場(chǎng)分析,全年需投入固定成本2500萬(wàn)元,每生產(chǎn)x(百輛),需另投入成本萬(wàn)元,且.由市場(chǎng)調(diào)研知,每輛車售價(jià)5萬(wàn)元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.
(1)求出2018年的利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤(rùn)=銷售額-成本)
(2)2018年產(chǎn)量為多少百輛時(shí),企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).
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【題目】已知函數(shù).
()若,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
()若,且對(duì)于任意, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
()求證:不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立.
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