【題目】【2018衡水金卷（二）】如圖，矩形中， 且， 交于點(diǎn)．

（I）若點(diǎn)的軌跡是曲線的一部分，曲線關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)都對(duì)稱，求曲線的軌跡方程；

（II）過點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，四邊形的面積為，探究是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說明理由．

【答案】（I）曲線的軌跡方程為；（II）為定值．

【解析】試題分析：（1）可得M（﹣2，2λ），N（﹣2+4λ，2），，設(shè)Q（x，y），整理得： ，即可得曲線P的軌跡方程為；

（2）設(shè)直線的斜率為，把代入橢圓方程，化簡(jiǎn)整理得.利用韋達(dá)定理易得四邊形GFHE的面積為， ，所以，

試題解析：

(1)設(shè)，

由,

求得,

∵,

∴,

∴，

整理得.

可知點(diǎn)的軌跡為第二象限的橢圓，由對(duì)稱性可知曲線的軌跡方程為.

（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的斜率為，把代入橢圓方程，化簡(jiǎn)整理得.

，

.

∴

.

∵,

∴把換成，即得.

∴

，

，

，

∴.

當(dāng)直線斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，

.

∴為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，若p，q分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.下列四個(gè)命題中正確命題為( )

A.若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有1個(gè)

B.若，且，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有2個(gè)

C.若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有4個(gè)

D.若，則點(diǎn)M在一條過點(diǎn)O的直線上

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，平面AA1C1C⊥平面ABC．

（1）證明：A1O⊥平面ABC；

（2）求直線AB與平面A1BC1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為的正方形， ， 分別為， 的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）若， 平面，求直線與平面所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若，，則

②若，，，則

③若，，則

④若，，則

其中正確命題的序號(hào)是（ ）

A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，側(cè)面是正方形， 側(cè)面， ，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證： //平面；

（2）若，垂足為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程，并指明曲線的形狀；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門經(jīng)常不定期地抽查產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)在某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)的對(duì)比，并對(duì)每個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行綜合評(píng)分（滿分100分），將每個(gè)產(chǎn)品所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.

（1）求圖中的值；

（2）求綜合評(píng)分的中位數(shù)；

（3）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，按分層抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品，再?gòu)倪@5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)產(chǎn)品中至多有一個(gè)一等品的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)命題p：x0∈（1，+∞），使得5+|x0|=6．q：x∈（0，+∞），+81x≥a．

（1）若a=9，判斷命題￢p，p∨q，（￢p）∧（￢q）的真假，并說明理由；

（2）設(shè)命題r：x0∈R，x02+2x0+a-9≤0判斷r成立是q成立的什么條件，并說明理由．

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