【題目】已知函數(shù), ,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性.

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)使對(duì)任意恒成立?若存在,試求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】見解析

【解析】試題分析:

求出導(dǎo)函數(shù),求出的解,在定義域內(nèi)的各區(qū)間可得的正負(fù),即得的單調(diào)區(qū)間;

觀察函數(shù),因此有,這樣不等式可化為,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)研究出的單調(diào)性,可根據(jù)的取值分類討論求只有時(shí),可得有最小值,由最小值 ,把這個(gè)式子作為的函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)得其最大值為,且,從而可得(一方面,另一方面,因此只有),,再研究在時(shí), 是否恒成立即可.

試題解析:

.

當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), .

所以上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)注意到, .

于是, ,, ,

,則上單調(diào)遞減,則當(dāng)時(shí),不合題意;

,易知上單調(diào)遞減上單調(diào)遞增,

上的最小值.

,有最大值,,

,,代入①得.

當(dāng)時(shí), .

,上有最小值,,符合題意.

綜上存在,使對(duì)任意恒成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓 過點(diǎn), 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短軸長為直徑的圓與直線相切.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)的直線交橢圓 ,求內(nèi)切圓面積的最大值和此時(shí)直線的方程.

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【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;

(2)若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)

①求最大整數(shù)值

②證明:

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在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)且與直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程;

(2)若為橢圓上任意-點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到直線距離最小時(shí),求點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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【題目】已知函數(shù) .

當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

對(duì)任意的, 恒成立,求的取值范圍.

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【題目】甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司的底薪70元,每單抽成3元;乙公司無底薪,40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成5元,超出40單的部分每單抽成7元,假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員,并分別記錄其100天的送餐單數(shù),得到頻數(shù)表如下:

甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表

送餐單數(shù)

38

39

40

41

42

天數(shù)

20

40

20

10

10

乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表

送餐單數(shù)

38

39

40

41

42

天數(shù)

10

20

20

40

10

將上表中的頻率視為概率,回答下列問題:

(1)現(xiàn)從甲公司隨機(jī)抽取3名送餐員,求恰有2名送餐員送餐單數(shù)超過40的概率;

(2)(i)記乙公司送餐員日工資為X(單位:元),求X的數(shù)學(xué)期望;

(ii)某人擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日平均工資的角度考慮,他應(yīng)該選擇去哪家公司應(yīng)聘,說明理由.

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【題目】如圖所示,已知兩個(gè)正方形ABCDDCEF不在同一平面內(nèi),M,N分別為AB,DF的中點(diǎn).

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(2)用反證法證明:直線MEBN是兩條異面直線.

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【題目】隨著“中華好詩詞”節(jié)目的播出,掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩詞經(jīng)典的熱潮.某大學(xué)社團(tuán)為調(diào)查大學(xué)生對(duì)于“中華詩詞”的喜好,在該校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生,記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時(shí)間并整理得到如下頻率分布直方圖:

根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時(shí)間,可以將學(xué)生對(duì)于“中華詩詞”的喜好程度分為三個(gè)等級(jí) :

學(xué)習(xí)時(shí)間

(分鐘/天)

等級(jí)

一般

愛好

癡迷

()的值;

(Ⅱ) 從該大學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)選出一人,試估計(jì)其“愛好”中華詩詞的概率;

(Ⅲ) 假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替,試估計(jì)樣本中40名學(xué)生每人每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時(shí)間

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