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已知點P （4，4），圓C： 與橢圓E：的一個公共點為A（3，1），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，直線與圓C相切。

（1）求m的值與橢圓E的方程；

（2）設D為直線PF1與圓C 的切點，在橢圓E上是否存在點Q ，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由。

                           

 

【答案】

（1）m=1，橢圓E的方程為

（2）在橢圓上存在兩個點Q，使得PDQ是以PD為底的等邊三角形

【解析】解：（1）∵點A(3,1)在圓上，∴（3-m）2+1=5 又m<3    ∴m=1 ┉┉2分

設F1(-c,0),∵P(4,4)  直線PF1方程為4x-(4+c)y+4c=0    ---------3分

直線PF1與圓C相切，  c=4.――――－4分

由得橢圓E的方程為――――――――6分

（2）直線PF1方程為4x-8y+16=0，即x-2y+4=0

由得切點D（0，2）―――――7分

又P(4,4), 線段PD中點為M（2，3）―――――8分

又橢圓右焦點為F2(4,0),  ―――10分

,線段PD垂直平分線的斜率為－2  ―――――――11分

，線段PD的垂直平分線與橢圓有兩個交點――――13分

在橢圓上存在兩個點Q，使得PDQ是以PD為底的等邊三角形―――14分

（或與過點M的橢圓右側切線斜率比較說明；或用判別式）

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知點P（4，4），圓C：（x-m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．
（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；
（Ⅱ）設Q為橢圓E上的一個動點，求
AP
•
AQ
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知點P（4，4），圓C：（x-m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．
（1）求直線PF1的方程；
（2）求橢圓E的方程；
（3）設Q為橢圓E上的一個動點，求證：以QF1為直徑的圓與圓x2+y2=18相切．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知點P （4，4），圓C：（x-m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一個公共點為A（3，1），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．
（1）求m的值與橢圓E的方程．
（2）設D為直線PF1與圓C的切點，在橢圓E上是否存在點Q，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點P（4，4），圓C：（x-m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點，直線PF1與圓C相切．
（1）求m的值； 
（2）求橢圓E的方程．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年浙江省杭州市長河高三市二測模考數學理卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：

有一個公共點A（3，1），F1．F2分別是橢圓的左．右焦點，直線PF1與圓C相切．

（1）求m的值與橢圓E的方程；

（2）設Q為橢圓E上的一個動點，求的范圍．

 

 

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