Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線B₁F與AC的夾角余弦值；
（2）求證：DE∥平面ABC；
（3）求證：B₁F⊥平面AEF．

Answer 1

解：（1）做FH∥AC，根據(jù)異面直線及其所成的角的定義知，
∠B₁FH即所求異面直線B₁F與AC的夾角，
從而cos∠B₁FH即所求，
Rt△B₁FH中，cos∠B₁FH==．
（2）方法i：設(shè)G是AB的中點(diǎn)，連接DG，
則DG平行且等于EC，
所以四邊形DECG是平行四邊形，所以DE∥GC，
從而DE∥平面ABC．
方法ii：連接A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線
于點(diǎn)P，連接BP．由E為C₁C的中點(diǎn)，A₁C₁∥CP，
可證A₁E=EP，
∵D、E是A₁B、A₁P的中點(diǎn)，∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC
（3）∵△ABC為等腰直角三角形，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴BC⊥AF，又∵B₁B⊥平面ABC，可證B₁F⊥AF，
設(shè)AB=AA₁=2，則，
∴B₁F⊥EF，∴B₁F⊥平面AEF；
分析：（1）做FH∥AC，cos∠B₁FH即所求，在Rt△B₁FH中，即可求出異面直線B₁F與AC的夾角余弦值；
（2）要證DE∥平面ABC，只需證明DE平行平面ABC內(nèi)的直線DG（設(shè)G是AB的中點(diǎn)，連接DG）；
（3）求證B₁F⊥平面AEF，只需證明B₁F垂直平面AEF內(nèi)的兩條相交直線AF、EF即可；
點(diǎn)評：本題考查異面直線及其所成的角、直線與平面平行的判定，二面角的求法，直線與平面的垂直的判定，考查邏輯思維能力 空間想象能力，是中檔題．