Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線AB和C₁D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)D到平面B₁C₁E的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：利用平行四邊形的性質(zhì)把其中一條平移及異面直線所成的角的定義、三角形中的三角函數(shù)的計(jì)算即可求出；
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量所成的角即可求出異面直線所成的角；
（Ⅱ）法一：過(guò)C₁作C₁M⊥A₁B₁，垂足為M，則M為A₁B₁的中點(diǎn)，且C₁M⊥平面AA₁B₁B．連接DM，利用三垂線定理即可找出點(diǎn)E的位置；
法二：過(guò)E作EN⊥AC，垂足為N，則EN⊥平面AA₁C₁C，連接A₁N．利用三垂線定理即可證明；
法三：建立空間直角坐標(biāo)系，利用

A1E

⊥

C1D

?

A1E

•

C1D

=0即可求出；
（Ⅲ）法一：利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)即可求出；
法二：利用“等積變形”即可求出．

解答：（Ⅰ）法一：取CC₁的中點(diǎn)F，連接AF，BF，則AF∥C₁D．
∴∠BAF為異面直線AB與C₁D所成的角或其補(bǔ)角．
∵△ABC為等腰直角三角形，AC=2，∴AB=2

2

．
又∵CC₁=2，∴AF=BF=

5

．
∵cos∠BAF=

2

5

=

10

5

，
∴∠BAF=arccos

10

5

，
即異面直線AB與C₁D所成的角為arccos

10

5

．
法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CA，CC₁分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，2，0），B（2，0，0），
C₁（0，0，2），D（0，2，1），
∴

AB

=（2，-2，0），

C1D

=（0，2，-1）．由于異面直線AB與C₁D所成的角
為向量

AB

與

C1D

的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)

AB

與

C1D

夾角為θ，
則cosθ=

-4

2 2 × 5

=-

10

5

，θ=π-arccos

10

5

，
即異面直線AB與C₁D所成的角為arccosθ．
（Ⅱ）法一：過(guò)C₁作C₁M⊥A₁B₁，垂足為M，則M為A₁B₁的中點(diǎn)，且C₁M⊥平面AA₁B₁B．連接DM．
∴DM即為C₁D在平面AA₁B₁B上的射影．要使得A₁E⊥C₁D，由三垂線定理知，只要A₁E⊥DM．
∵AA₁=2，AB=2

2

，由計(jì)算知，E為AB的中點(diǎn)．
法二：過(guò)E作EN⊥AC，垂足為N，則EN⊥平面AA₁C₁C．
連接A₁N．∴A₁N即為A₁E在平面AA₁C₁C上的射影．要使得A₁E⊥C₁D，由三垂線定理知，只要A₁N⊥C₁D．
∵四邊形AA₁C₁C為正方形，∴N為AC的中點(diǎn)，∴E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．
法三：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB，CA，CC₁分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（0，2，2），B（2，0，0），A（0，2，0），
C₁（0，0，2），D（0，2，1），
設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，0），
要使得A₁E⊥C₁D，
只要

A1E

•

C1D

=0，∵

A1E

=（x，y-2，-2），

C1D

=（0，2，-1），y=1．
又∵點(diǎn)E在AB上，∴

AE

∥

AB

，

AE

=(x，y-2，0)，

AB

=(2，-2，0)．
∴x=1．
∴E（1，1，0）．
∴E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．
（Ⅲ）法一：取AC中點(diǎn)N，連接EN，C₁N，
則EN∥B₁C₁．∵B₁C₁⊥平面AA₁C₁C，∴面B₁C₁NE⊥平面AA₁C₁C．
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥C₁N，垂足為H，則DH⊥平面B₁C₁NE，
∴DH的長(zhǎng)度即為點(diǎn)D到平面B₁C₁E的距離．
在正方形AA₁C₁C中，由計(jì)算知DH=

3 5

5

，即點(diǎn)D到平面B₁C₁E的 距離

3 5

5

．
法二：連接DE，DB₁．
在三棱錐D-B₁C₁E中，點(diǎn)C₁到平面DB₁E的距離
=

2

，B₁E=

6

，DE=

3

，
又B₁E⊥DE，∴△DB₁E的面積=

1

2

×

6

×

2

=

3 2

2

，
∴三棱錐C₁-DB₁E的體積為=

1

3

×

3 2

2

×

2

=1．
設(shè)點(diǎn)D到平面B₁C₁E的距離為d，在△B₁C₁E中，B₁C₁=2，B₁E=C₁E=

6

，
∴△B₁C₁E的面積=

1

2

×2×

5

=

5

．由

1

3

×d×

5

=1，
得d=

3 5

5

，即點(diǎn)D到平面B₁C₁E的距離

3 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間中的空間角、線面位置關(guān)系、空間距離，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、異面直線所成的角的定義、三角形中的三角函數(shù)的計(jì)算、三垂線定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用直線的方向向量及平面的法向量的夾角、

A1E

⊥

C1D

?

A1E

•

C1D

=0、線面與面面垂直的判定和性質(zhì)、“等積變形”是解題的關(guān)鍵．