【題目】已知函數(shù)fx)=ln(+mx)(mR).

(Ⅰ)是否存在實數(shù)m,使得函數(shù)fx)為奇函數(shù),若存在求出m的值,若不存在,說明理由;

(Ⅱ)若m為正整數(shù),當(dāng)x>0時,fx)>lnx++,求m的最小值.

【答案】(Ⅰ)m=±1(Ⅱ)5

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出m的值,

(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為ln(1+m)>+,令g(t)=ln(1+t)-,g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,代值驗證即可

解:()存在,m=±1,

理由如下:fx)=ln(+mx),

f(-x)=ln(-mx),

fx)為奇函數(shù),

f(-x)=-fx),

ln(-mx)=-ln(+mx),

ln((1-m2x2+1)=0恒成立,

m=±1,

檢驗:當(dāng)m=±1時,fx)是奇函數(shù),

(Ⅱ)由題意得:當(dāng)x>0時,ln(+mx)>lnx++,

ln(+m)>+,

y=ln(+m)單調(diào)遞減,

∴l(xiāng)n(+m)>ln(1+m),

即只要ln(1+m)>+,

gt)=ln(1+t)-,則gt)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

當(dāng)m=1時,ln2>1+不成立,

當(dāng)m=2時,ln3>+不成立,

當(dāng)m=3時,ln4>+不成立,

當(dāng)m=4時,ln5>+不成立,

當(dāng)m=5時,ln6=ln2+ln3≈1.7921>+=1.7成立,

故正整數(shù)m的最小值是5

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