【題目】如圖，三棱錐，側(cè)棱，底面三角形為正三角形，邊長為，頂點在平面上的射影為，有，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在點使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）證線面平行，則要在平面找一線與之平行即可，顯然分析即得證，（2）求二面角可借助空間直角坐標系將兩個平面的法向量一一求出，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式便可求解（3）存在問題可以根據(jù)結(jié)論反推即可，容易得因為，所以與不垂直，故不存在

試題解析：

（Ⅰ）因為，且， ，所以，

所以.

因為為正三角形，所以，

又由已知可知為平面四邊形，所以.

因為平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）由點在平面上的射影為可得平面，

所以， .

以分別為建立空間直角坐標系，則由已知可知， ， ， .

平面的法向量，

設為平面的一個法向量，則

由可得

令，則，所以平面的一個法向量，

所以，

所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得， ，

因為，

所以與不垂直，

所以在線段上不存在點使得⊥平面.

練習冊系列答案
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①函數(shù)f（x）的最小正周期是2π
②函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)g（x）=sin2x的圖象向左平移 個單位長度得到
③函數(shù)f（x）的圖象關于直線x= 對稱
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[ ]上是增函數(shù)．

A.3
B.2
C.1
D.0

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（Ⅱ）討論的零點的個數(shù)．

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【題目】為了響應教育部頒布的《關于推進中小學生研學旅行的意見》,某校計劃開設八門研學旅行課程，并對全校學生的選擇意向進行調(diào)查(調(diào)查要求全員參與，每個學生必須從八門課程中選出唯一一門課程).本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下.

上圖中，已知課程為人文類課程，課程為自然科學類課程.為進一步研究學生選課意向，結(jié)合上面圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取的學生作為研究樣本組(以下簡稱“組M”).

(Ⅰ)在“組M”中，選擇人文類課程和自然科學類課程的人數(shù)各有多少？

(Ⅱ)為參加某地舉辦的自然科學營活動，從“組M”所有選擇自然科學類課程的同學中隨機抽取4名同學前往，其中選擇課程F或課程H的同學參加本次活動，費用為每人1500元，選擇課程G的同學參加，費用為每人2000元.

(ⅰ)設隨機變量表示選出的4名同學中選擇課程的人數(shù)，求隨機變量的分布列；

(ⅱ)設隨機變量表示選出的4名同學參加科學營的費用總和，求隨機變量的期望.

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