【題目】已知橢圓M的對稱軸為坐標軸,離心率為,且一個焦點坐標為(,0).
(1)求橢圓M的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓M相交于A,B兩點,以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中點P在橢圓M上,O為坐標原點,求點O到直線l的距離的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)設(shè)橢圓的標準方程,已知離心率e= ,一個焦點(c,0)=(,0),結(jié)合a2=b2+c2,求得a,b,c的值,即可得橢圓方程;
(2)分類討論,當直線l的斜率存在時,得O到l的最小值為,當直線l的斜率不存在時,得最小值為1,綜合考慮,可知點O到l的最小值是.
(1)由題意可設(shè)橢圓的標準方程為=1(a>b>0),∴解得a=2,b=,
∴ 橢圓M的方程為=1.
當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,聯(lián)立
化為(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0
,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)>0,化為2+4k2-m2>0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).
∴x0=x1+x2=,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=.
∵點P在橢圓M上,∴=1.
∴=1,化簡得2m2=1+2k2,滿足Δ>0.
又點O到直線l的距離d==.
當且僅當k=0時取等號.
當直線l無斜率時,由對稱性可知:點P一定在x軸上,從而點P的坐標為(±2,0),直線l的方程為x=±1,∴點O到直線l的距離為1.
∴點O到直線l的距離的最小值為.
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【題目】線段AB外有一點C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽車以80 km/h的速度由A向B行駛,同時摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛,則運動開始________h后,兩車的距離最。
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【題目】設(shè)分別為橢圓的左、右焦點,點為橢圓的左頂點,點為橢圓的上頂點,且.
(1)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上一點,且在第一象限內(nèi),直線與軸相交于點,若以為直徑的圓經(jīng)過點,證明:點在直線上.
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【題目】已知點A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),=(3λ,4λ)(λ≠0),=-4,若拋物線y2=ax經(jīng)過A和B兩點,則a的值為( )
A. 2 B. -2
C. -4 D. 4
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【題目】已知直線y=k(x+3)(k>0)與拋物線C:y2=12x相交于A,B兩點,F為C的焦點,若|FA|=3|FB|,則k的值等于_____.
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【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項a1=1,sn是數(shù)列{an}的前n項和,且滿足:
anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N )
(1)若a1 , a2 , a3成等比數(shù)列,求實數(shù)λ的值;
(2)若λ= ,求Sn .
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【題目】設(shè)的展開式的各項系數(shù)之和為M,二項式系數(shù)之和為N,M-N=992.
(1)判斷該展開式中有無x2項?若有,求出它的系數(shù);若沒有,說明理由;
(2)求此展開式中有理項的項數(shù).
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【題目】在平面直角坐標系中,設(shè)M、N、T是圓C:(x﹣1)2+y2=4上不同三點,若存在正實數(shù)a,b,使 =a +b ,則 的取值范圍為 .
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【題目】在平面直角坐標系中,已知點P(3,0)在圓C:(x﹣m)2+(y﹣2)2=40內(nèi),動直線AB過點P且交圓C于A、B兩點,若△ABC的面積的最大值為20,則實數(shù)m的取值范圍是 .
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