Question

已知?jiǎng)訄A與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn).

（1）求曲線的方程；

（2）試探究和的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)，若不能，請說明理由；

（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值.

 

Answer 1

（1）圓心的軌跡：；

（2）和的比值為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為；

（3）當(dāng)時(shí)，取最大值.

【解析】

試題解析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為

由于動(dòng)圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，所以動(dòng)

圓與圓只能內(nèi)切

2分

圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，

故圓心的軌跡： 4分

（2）設(shè)，直線，則直線

由可得：，

6分

由可得：

8分

和的比值為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為 9分

（3），的面積的面積，

到直線的距離

11分

令，則

（當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即時(shí)取等號(hào)）

當(dāng)時(shí)，取最大值 13分

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的定義、幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用.