Question

已知拋物線C：y²=4(x-1),橢圓C₁的左焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線l分別重合.

(1)設(shè)B是橢圓C₁短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的軌跡C₂的方程;

(2)如果直線x+y=m與曲線C₂相交于不同兩點(diǎn)M、N，求m的取值范圍.

Answer 1

(1)解法一：由y²=4(x-1)知拋物線C的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線l的方程為x=0.設(shè)動(dòng)橢圓C₁的短軸的一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x₁,y₁)(x₁＞2,y₁≠0)，點(diǎn)P(x,y),

    則

    ∴

    ∴B(2x-2,2y)(x＞2,y≠0).

    設(shè)點(diǎn)B在準(zhǔn)線x=0上的射影為點(diǎn)B′,橢圓的中心為點(diǎn)O′，則橢圓離心率e=,由=,得=,

    整理，化簡得y²=x-2(y≠0),這就是點(diǎn)P的軌跡方程.

    解法二：拋物線y²=4(x-1)焦點(diǎn)為F(2,0)，準(zhǔn)線l:x=0.設(shè)P(x,y),

    ∵P為BF中點(diǎn),

    ∴B(2x-2,2y)(x＞2,y≠0).

    設(shè)橢圓C₁的長半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c,

    則c=(2x-2)-2=2x-4,b²=(2y)²=4y²,

    ∵(-c)-(-)=2,

    ∴=2,即b²=2c.

    ∴4y²=2(2x-4),即y²=x-2(y≠0).

    此即C₂的軌跡方程.

(2)解：由(y≠0),得y²+y-m+2=0,令Δ=1-4(-m+2)＞0，解得m＞.

    而當(dāng)m=2時(shí)，直線x+y=2過點(diǎn)(2,0)，這時(shí)它與曲線C₂只有一個(gè)交點(diǎn),

    ∴所求m的取值范圍是(,2)∪(2,+∞).