Question

已知拋物線C：y²=2Px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0），求證：a²=

16(1-kb)

k2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線的定義直接列式求出p，則拋物線C的方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線和拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積，代入|y₁-y₂|=a化簡(jiǎn)即可證明等式．

解答：（Ⅰ）解：由拋物線定義，拋物線C：y²=2Px（p＞0）上點(diǎn)P（4，y₀）到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線x=-

p

2

的距離，得5=4+

p

2

，
∴p=2，
所以拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：由

y2=4x y=kx+b

，得ky²-4y+4b=0，
當(dāng)△=16-16kb＞0，即kb＜1且k≠0 時(shí)，
y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，
由|y₁-y₂|=a，即(y1+y2)2-4y1y2=

16

k2

-

16kb

k

=a2，
所以a2=

16(1-kb)

k2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義及軌跡方程的求法，關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，是中檔題．