精英家教網(wǎng)如圖所示,已知圓O:x2+y2=1,直線l:y=kx+b(b>0)是圓的一條切線,且l與橢圓
x2
2
+y2=1
交于不同的兩點A、B.
(1)若△AOB的面積等于
2
3
,求直線l的方程;
(2)設△AOB的面積為S,且滿足
6
4
≤S≤
2
6
7
,求
OA
OB
的取值范圍.
分析:解:(1)由三角形的面積公式,要分別求底即弦長,要求高即點到直線的距離.(2)由(1)知△AOB的面積模型,即有
6
4
1
2
×
1+k2
×
2
2
|k|
1+2k2
×
|b|
1+k2
2
7
6
可得
1
2
k2≤3
而設A(x1,y1),B(x2,y2)
OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)2
由韋達定理,轉化為關系k2的函數(shù)求解.
解答:解:(1)由題意可知:
|b|
1+k2
=1
b=
1+k2
(1分)
y=kx+b
x2+2y2-2=0

得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0(2分)∴|AB|=
1+k2
×
2
2
|k|
1+2k2
(3分)
而O到直線AB的距離為
|b|
1+k2
=1
(4分)
則有
1
2
×
1+k2
×
2
2
|k|
1+2k2
×
|b|
1+k2
=
2
3

得k=±1(15分)
所求直線的方程為x-y+
2
=0
x+y-
2
=0
.(6分)
(2)由題意可知
6
4
1
2
×
1+k2
×
2
2
|k|
1+2k2
×
|b|
1+k2
2
7
6

1
2
k2≤3
(8分)
設A(x1,y1),B(x2,y2
OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)2
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b(10分)
根據(jù)韋達定理得:x1+x2=-
4kb
1+2k2
x1x2=
2b2-2
1+2k2

代入上式得:
OA
OB
=
1+k2
1+2k2
4
7
OA
OB
3
4
.(13分)
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系,弦長公式,點到直線的距離以及建立函數(shù)模型的能力.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示,已知圓O:x2+y2=1,直線l:y=kx+b(k>0,b>0)是圓的一條切線,且l與橢圓
x2
2
+y2=1
交于不同的兩點A,B.
(1)若弦AB的長為
4
3
,求直線l的方程;
(2)當直線l滿足條件(1)時,求
OA
OB
的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,已知圓O:x2+y2=4,直線m:kx-y+1=0.
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(2)設直線m與圓O的兩個交點為A、B,求△AOB面積S的最大值.

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3
,AB=
15
,則AC的長為
3
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•衡陽模擬)如圖所示,已知圓O直徑AB=
6
,C為圓O上一點,且BC=
2
,過點B的切線交AC延長線于點D,則DA=
3
3

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