Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義f″（x）是y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何三次函數(shù)都有‘拐點’；任何三次函數(shù)都有對稱中心；且對稱中心就是‘拐點’”．請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)判斷下列命題：
（1）任意三次函數(shù)都關(guān)于點(-

b

3a

，f(-

b

3a

))對稱； 
（2）存在三次函數(shù)，f'（x）=0有實數(shù)解x₀，（x₀，f（x₀））點為函數(shù)y=f（x）的對稱中心； 
（3）存在三次函數(shù)有兩個及兩個以上的對稱中心； 
（4）若函數(shù)g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

，則g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=-1006
其中正確命題的序號為（　�。�

A．（1）（2）（4）

B．（1）（2）（3）（4）

C．（1）（2）（3）

D．（2）（3）

Answer 1

分析：（1）利用新定義，可知（1）正確；
（2）由（1）知，x₀=-

b

3a

，代入f'（x）=0，可得b²=3ac，由此可得結(jié)論；
（3）由（1）知，三次函數(shù)有且只有一個對稱中心；
（4）求出對稱中心，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），∴f″（x）=6ax+2b（a≠0），
∴令f″（x）=0，可得x=-

b

3a

，∴任意三次函數(shù)都關(guān)于點(-

b

3a

，f(-

b

3a

))對稱，故（1）正確； 
（2）由（1）知，x₀=-

b

3a

，代入f'（x）=0，可得3a×

b2

9a2

-2b×

b

3a

+c=0，∴b²=3ac，此時，存在三次函數(shù)，f'（x）=0有實數(shù)解x₀，（x₀，f（x₀））點為函數(shù)y=f（x）的對稱中心，故（2）正確； 
（3）由（1）知，三次函數(shù)有且只有一個對稱中心，即不存在三次函數(shù)有兩個及兩個以上的對稱中心，故（3）不正確； 
（4）∵g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

，∴g′（x）=x²-x
∴g″（x）=2x-1
令g″（x）=0，可得x=

1

2

，∴g（1）=-

1

2

∴g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

的對稱中心為(

1

2

，-

1

2

)
∴g（x）+g（1-x）=-1
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=-1006，即（4）正確，
故選A．

點評：本小題考查新定義，考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查計算能力，屬于中檔題．