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對于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定義：設f''（x）是函數y=f（x）的導數f′（x）的導數，若方程f''（x）=0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數y=f（x）的“拐點”．有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數都有‘拐點’；任何一個三次函數都有對稱中心”，且‘拐點’就是對稱中心．請你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件．
（1）．函數f（x）=x3-3x2+3x的對稱中心為
（1，2）
（1，2）
．
（2）．若函數g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
，則g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)=
2012
2012
．
分析：（1）根據“拐點”的定義求出f''（x）=0的根，然后代入函數解析式可求出“拐點”的坐標．
（2）先求出函數的對稱中心，利用對稱中心的性質可得答案；
解答：解：（1）依題意，f'（x）=3x2-6x+3，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=2，
∴f（x）=x3-3x2+2x+2的“拐點”坐標是（1，2）．
∴函數f（x）=x3-3x2+3x的對稱中心為（1，2）；
故答案為：（1，2）；
（2）∵g（x）+g（1-x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
+
1
3
(1-x)3-
1
2
(1-x)2+3（1-x）-
5
12
+
1
1-x-
1
2
=2，
∴g（x）的圖象關于點（
1
2
，1）對稱，
∴g（
1
2013
）+g（
2
2013
）+g（
3
2013
）+…+g（
2012
2013
）
=[g（
1
2013
）+g（
2012
2013
）]+[g（
2
2013
）+g（
2011
2013
）]+…+[g（
1006
2013
）+g（
1007
2013
）]
=2×1006=2012，
故答案為：2012．
點評：本題在函數、導數、方程的交匯處命題，具有較強的預測性，而且設問的方式具有較大的開放性，情景新穎，解題的關鍵是：深刻理解函數“拐點”的定義和函數圖象的對稱中心的意義．其本質是：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；且任何一個三次函數的拐點就是它的對稱中心．
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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設f″（x）是函數y=f（x）的導數y=f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數y=f（x）的“拐點”；
定義：（2）設x0為常數，若定義在R上的函數y=f（x）對于定義域內的一切實數x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數y=f（x）的圖象關于點（x0，f（x0））對稱．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數f（x）的“拐點”A的坐標
 
；
（2）檢驗函數f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)二模）對于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是函數f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x0，則稱（x0，f（x0））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．給定函數f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，請你根據上面探究結果，解答以下問題
（1）函數f（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的對稱中心為
（
1
2
，1）
（
1
2
，1）
；
（2）計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f（
2012
2013
）=
2012
2012
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)二模）對于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且拐點就是對稱中心．若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1，則該函數的對稱中心為
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
，計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•安慶三模）對于三次函數f（x）-ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設ft（x）是函數y=f（x）的導數，ftt（x）是函數ft的導數，若方程ftt（x）=0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個一元三次函數都有“拐點”；且該“拐點”也為該函數的對稱中心．若f（x）=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1，則f（
1
2014
）+f（
2
2014
）+…+f（
2013
2014
）=（　�。�

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