【題目】已知橢圓的中心為,一個(gè)方向向量為的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)

1)若且點(diǎn)在第二象限,求點(diǎn)的坐標(biāo);

2)若經(jīng)過(guò)的直線垂直,求證:點(diǎn)到直線的距離;

3)若點(diǎn)在橢圓上,記直線的斜率為,且為直線的一個(gè)法向量,且的值.

【答案】12)見解析(39

【解析】

1)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,可得的方程,運(yùn)用直線和橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),可得,化簡(jiǎn)整理,解方程可得的坐標(biāo);

2)設(shè)直線,運(yùn)用(1)求得到直線的距離公式,再由基本不等式可得最大值,即可得證;

3)直線的方程為,代入橢圓方程,可得交點(diǎn),求得,同樣將直線代入橢圓方程求得的坐標(biāo),可得,化簡(jiǎn)整理即可得到所求值.

解:(1)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程

可得,

直線只有一個(gè)公共點(diǎn),可得

即有,

化簡(jiǎn)可得,

可得,

由點(diǎn)在第二象限,可得,

即為;

(2)證明:設(shè)直線,

由(1)可得,

則點(diǎn)到直線的距離

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得等號(hào);

(3)由題意可得直線的方程為

代入橢圓方程,可得,

即有,

即有,

將直線的方程,代入橢圓方程可得,

,,

即有,

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