【題目】設(shè)函數(shù)，，其中，為正實(shí)數(shù).

（1）若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，證明：對(duì)任意，都有.

【答案】（1） （2）證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)據(jù)題意可得在區(qū)間上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足不等式的的取值范圍；(2)不等式整理為，由(1)可知當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而證明在區(qū)間上成立，從而證明對(duì)任意，都有.

（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒在的圖象的下方，

所以在區(qū)間上恒成立.

設(shè)，其中，

所以，其中，.

①當(dāng)，即時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，

故成立，滿足題意.

②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，

則圖象的對(duì)稱軸，，，

所以在上存在唯一實(shí)根，設(shè)為，則，，，

所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意.

綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）證明：由題意得，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，

所以.

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，，即，

所以，從而.

由（1）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，整理得.

令，則要證，只需證.

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即在上恒成立.

綜上可得，對(duì)任意，都有成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．

（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；

（Ⅱ）若二面角CBFD的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“初中數(shù)學(xué)靠練，高中數(shù)學(xué)靠悟”.總結(jié)反思自己已經(jīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一部分，為了了解總結(jié)反思對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響，某校隨機(jī)抽取200名學(xué)生，抽到不善于總結(jié)反思的學(xué)生概率是0.6.

（1）完成列聯(lián)表（應(yīng)適當(dāng)寫出計(jì)算過(guò)程）；

（2）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與善于總結(jié)反思有關(guān).

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

不善于總結(jié)反思

善于總結(jié)反思

合計(jì)

學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀

40

學(xué)習(xí)成績(jī)一般

20

合計(jì)

200

參考公式：其中

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某省新課改后某校為預(yù)測(cè)2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.

（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.

（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬(wàn)，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.

（i）若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；

（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬(wàn)，假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.

可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)的距離之積等于的所有點(diǎn)組成的，對(duì)于曲線，有下列四個(gè)結(jié)論：①曲線是軸對(duì)稱圖形；②曲線上所有的點(diǎn)都在單位圓內(nèi)；③曲線是中心對(duì)稱圖形；④曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo).其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.

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【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：.且是，的等差中項(xiàng).又?jǐn)?shù)列滿足：，，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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A.函數(shù)是偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;

(Ⅱ)對(duì)于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;

(Ⅲ)對(duì)所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號(hào)成立的的值.

(注:對(duì)于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知.

（1）當(dāng)時(shí)，若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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