Question

已知：函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（2）若a=9，b=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處與直線y=8相切，則f'（2）=0，f（2）=0建立方程組，解之即可求出a和b的值；
（2）先求出f'（x）=0的值，然后判定導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值的定義判定極值點(diǎn)，代入函數(shù)解析式求出極值即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處與直線y=8相切，
∴

f′(2)=0 f(2)=8

?

3(4-a)=0 8-6a+b=8

?

a=4 b=24

（2）∵f（x）=x³-27x+1，∴f'（x）=3x²-27，令f'（x）=0，則x=±3，即：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

則函數(shù)f（x）=x³-27x+1的單調(diào)增區(qū)間是：（-∞，-3），（3，+∞）
單調(diào)減區(qū)間是：（-3，3）
x=-3是極大值點(diǎn)，極大值為f（-3）=55；
x=3是極小值點(diǎn)，極小值為f（3）=-53．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．