Question

已知橢圓C的離心率e=

3

2

，長軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)分別為A₁（-2，0），A₂（2，0）；
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)M在該橢圓上，且

MF1

•

MF2

=0，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離；
（3）過點(diǎn)（1，0）且斜率為1的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求△OPQ的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)長軸端點(diǎn)判斷橢圓位置和a，再由離心率和a²=b²+c²，求得b²，即可求出橢圓方程．
（2）先求出

MF1

•

MF2

的解析式，把點(diǎn)M（x₁，y₂）代入橢圓，根據(jù)

MF1

•

MF2

=0，即可求得結(jié)果．
（3）橢圓與直線方程聯(lián)立，得交點(diǎn) 坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合三角形面積公式計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知e=

c

a

=

3

2

，a=2
∵a²=b²+c²=4
^∴b2=1
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1
（2）設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁）在雙曲線上
則y²=1-

x2

4

由橢圓

x2

4

+y2=1
知F₁（

3

，0），F(xiàn)₂（-

3

，0）
∴

MF1

•

MF2

=x₁²-3+y₁²=0
∴x₁²=

8

3

∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為

2 6

3

．
（3）由題意知

x2+4y2=4 y=x-1

4x2+5y2-20=0 y=2(x-1)

，
解方程組得交點(diǎn)p（0，-1），P（

8

5

，

3

5

），
∴S_△OPQ=

1

2

（1×1+1×

3

5

）=

4

5

．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意對于圓錐曲線目前主要以定義及方程為主，對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系只要掌握直線與橢圓的相關(guān)知識即可．