Question

已知橢圓C的離心率e=

3

2

，長軸的左右端點分別為A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點，直線A₁P與A₂Q交于點S，試問：當m變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由a=2，e=

3

2

，知c=

3

，b²=1，由此能求出橢圓C的方程．
（II）取m=0，得P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

），直線A₁P的方程是y=

3

6

x+

3

3

，直線A₁P的方程是y=

3

6

x+

3

3

，直線A₂Q的方程為是y=

3

2

x-

3

交點為S1(4，

3

)．若P(1，-

3

2

) ，Q(1，

3

2

)，由對稱性可知S2(4，-

3

)，若點S在同一條直線上，由直線只能為l：x=4．

解答：解：（I）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵a=2，e=

3

2

，∴c=

3

，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（II）取m=0，得P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

），
直線A₁P的方程是y=

3

6

x+

3

3

，
直線A₁P的方程是y=

3

6

x+

3

3

，直線A₂Q的方程為是y=

3

2

x-

3

交點為S1(4，

3

)．
若P(1，-

3

2

) ，Q(1，

3

2

)，由對稱性可知S2(4，-

3

)，
若點S在同一條直線上，由直線只能為l：x=4．
以下證明對于任意的m，直線A₁P與A₂Q的交點S均在直線l：x=4上，
事實上，由

x2 4 +y2=1 x=my+1

，
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y1+y2=

-2m

m2+4

，y1 y2=

-3

m2+4

，
記A₁P與l交于點S₀（4，y₀），
由

y0

4+2

=

y1

x1+2

，得y0=

6y1

x1+2

，
設(shè)A₂Q與l交于點S‘₀（4，y′₀），
由

y′0

4-2

=

y2

x2-2

，得y′0=

2y2

x2-2

，
∵y0-y′0=

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6y1(my2-1)-2y2 (my1+3)

(x1+2)(x2-2)

=

4my1y2-6(y1+y2)

(x1+2)(x2-2)

=

-12m m2+4 - -12m m2+4

(x1+2)(x2-2)

=0，
∴y₀=y′₀，即S₀與S‘₀重合，
這說明，當m變化時，點S恒在定直線l：x=4上．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價變換．注意對稱性的合理運用．