【題目】如圖所示,四邊形AMNC為等腰梯形,△ABC為直角三角形,平面AMNC與平面ABC垂直,AB=BC,AM=CN,點(diǎn)O、D、E分別是AC、MN、AB的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E作平行于平面AMNC的截面分別交BD、BC于點(diǎn)F、G,H是FG的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:OB⊥EH;
(Ⅱ)若直線(xiàn)BH與平面EFG所成的角的正弦值為 ,求二面角D﹣AC﹣H的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)證明:因?yàn)辄c(diǎn)O、D分別是等腰梯形AMNC兩底AC、MN的中點(diǎn),所以O(shè)D⊥OC.又AB=BC,
則OB⊥AC.于是等腰梯形AMNC與直角△ABC所成二面角的平面角為∠BOC,則∠BOC= .即OB⊥OD,得OB⊥平面AMNC.
又平面AMNC∥平面EFG,則OB⊥平面EFG.
因?yàn)镋G平面EFG,所以O(shè)B⊥EH.
(Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn),分別以 為x軸、y軸、z軸
的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
設(shè)OA=a,OB=b,則O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,0,b),C(﹣a,0,0).
所以E( ,F(xiàn)(0, ),G(﹣ ,H(﹣ ),有 ,平面EFG的一個(gè)法向量為 .
設(shè)直線(xiàn)BH與平面EFG所成的角為α,則sinα=|cos< |= ,得a=b.
設(shè)平面HAC的法向量為 ,由 ,取y=1,得 ,
所以cos< >= ,
因?yàn)槎娼荄﹣AC﹣H為銳二面角,所以二面角D﹣AC﹣H的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)由題意知等腰梯形AMNC與直角△ABC所成二面角的平面角為∠BOC,則∠BOC= . 得OB⊥平面AMNC.又平面AMNC∥平面EFG,則OB⊥平面EFG即可.(Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn),分別以 為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
設(shè)OA=a,OB=b,則O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,0,b),C(﹣a,0,0).利用向量法求解.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系(相交直線(xiàn):同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線(xiàn):同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線(xiàn): 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為,右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)橢圓下頂點(diǎn)為,直線(xiàn)()與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程,根據(jù)下列條件,分別求出的值.
(1)方程兩實(shí)根的積為5;
(2)方程的兩實(shí)根滿(mǎn)足.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+ |+|x﹣a+1|(a>0是常數(shù)).
(Ⅰ)證明:f(x)≥1;
(Ⅱ)若f(3)< ,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f'(x)+2017<4034x,若f(t+1)<f(﹣t)+4034t+2017,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小趙和小王約定在早上7:00至7:15之間到某公交站搭乘公交車(chē)去上學(xué),已知在這段時(shí)間內(nèi),共有2班公交車(chē)到達(dá)該站,到站的時(shí)間分別為7:05,7:15,如果他們約定見(jiàn)車(chē)就搭乘,則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車(chē)去上學(xué)的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人的各科成績(jī)?nèi)鐖D中的莖葉圖所示,則下列說(shuō)法不正確的是( )
A. 甲、乙兩人的各科平均分相同
B. 甲各科成績(jī)的中位數(shù)是83,乙各科成績(jī)的中位數(shù)是85
C. 甲各科成績(jī)比乙各科成績(jī)穩(wěn)定
D. 甲各科成績(jī)的眾數(shù)是89,乙各科成績(jī)的眾數(shù)為87
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)分別是的邊的中點(diǎn),連接,現(xiàn)將沿折疊至的位置,連接.記平面與平面的交線(xiàn)為,二面角大小為.
(1)證明: 平面;
(2)證明:平面平面;
(3)求平面與平面所成銳二面角大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①若 , 是第一象限角且 ,則 ;
②函數(shù) 在上是減函數(shù);
③ 是函數(shù) 的一條對(duì)稱(chēng)軸;
④函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱(chēng);
⑤設(shè) ,則函數(shù) 的最小值是,其中正確命題的序號(hào)為 __________.
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