Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后討論a研究函數(shù)在[1，2]上的單調(diào)性，對(duì)a分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最小值，得到最小值的表達(dá)式．

解答：解：函數(shù)f（x）=x²（x-a）=x³-ax²．
f′（x）=3x²-2ax．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率是k=2，而f（1）=1，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為：y-1=1（x-1），即x-y=0．
（2）∵f′（x）=3x²-2ax．
 令f′（x）=0得 x=0或x=

2a

3

①若a≤0則當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）＞0 所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
所以h（a）=f（1）=1-a
②若0＜a＜

3

2

 即0＜

2a

3

＜1 則當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）＞0
所以f（x）=在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，所以h（a）=f（1）=1-a
③若

3

2

≤a＜3 即1≤

3

2

a＜2 則當(dāng)1＜x＜

2

3

a時(shí)，f′（x）＜0
當(dāng)

2a

3

＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0所以f（x）在區(qū)間[1，

2a

3

]上是減函數(shù)，在區(qū)間[

2a

3

，2]上是增函數(shù)．
所以h（a）=f（

2a

3

）=-

4

27

a3
④若a≥3 即

2a

3

≥2 則當(dāng)1＜x＜2時(shí)，
f′（x）＜0所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)．所以h（a）=f（2）=8-4a
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值h(a)=

1-a    a＜ 3 2 - 4 27 a3     3 2 ≤a＜3 8-4a      a≥3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查分類討論的思想，計(jì)算能力，常考題型，屬于中檔題