如圖所示,AB為☉O直徑,直線CD與☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,連接AE,BE.證明:

(1)∠FEB=∠CEB;

(2)EF2=AD·BC.

 

【答案】

見解析

【解析】

證明:(1)由直線CD與☉O相切,

得∠CEB=∠EAB.

由AB為☉O的直徑,

得AE⊥EB,

從而∠EAB+∠EBF=;

又EF⊥AB,得

∠FEB+∠EBF=,

從而∠FEB=∠EAB.

故∠FEB=∠CEB.

(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,

∠FEB=∠CEB,BE是公共邊,

得Rt△BCE≌Rt△BFE,

所以BC=BF.

類似可證:Rt△ADE≌Rt△AFE,

得AD=AF.

又在Rt△AEB中,EF⊥AB,

故EF2=AF·BF,

所以EF2=AD·BC.

 

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2
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3
3
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如圖所示,AB是☉O的直徑,弦BD、CA的延長線相交于點(diǎn)E,F為BA延長線上一點(diǎn),且BD·BE=BA·BF,求證:

(1)EF⊥FB;

(2)∠DFB+∠DBC=90°.

 

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