Question

（2010•馬鞍山模擬）下面命題中正確的是

①②④

（寫出所有正確  命題的編號）．①?x∈R，e^x≥ex；②若f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，則f（2）的值用二進(jìn)制表示為111101；③若a＞0，b＞0，m＞0，則

b

a

≤

b+m

a+m

；④函數(shù)y=xlnx與y=

lnx

x

在點(diǎn)（1，0）處的切線相同．

Answer 1

分析：對于①用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令其大于0，利用單調(diào)性即可證得．
對于②根據(jù)二進(jìn)制表示為111101的表示主式即可進(jìn)行判斷；
對于③根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，比較大小的方法是做差，只需將比較的兩個(gè)分式做差與零比較大小即可．

b+m

a+m

-

b

a

=

m(a+b)

a(a+m)

與零比較即可求出．
對于④利用求導(dǎo)法則，以及（lnx）′=

1

x

，求出函數(shù)解析式的導(dǎo)函數(shù)，然后把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=1代入導(dǎo)函數(shù)中，求出的導(dǎo)函數(shù)值即為所求切線即得．

解答：解：對于①：設(shè)f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e，
令f′（x）＞0得x＞1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1]，∴f（x）＞f（1），即?x∈R，e^x≥ex
故①正確．
②二進(jìn)制111101即：2⁵+2⁴+2³+2*2+1=f（2）
故正確；
③：∵

b+m

a+m

-

b

a

=

ab+an-ab-bm

a(a+m)

=

m(a+b)

a(a+m)

∵a＞b＞0，m＞0，∴a-b＞0，a+m＞0
∴

m(a+b)

a(a+m)

＞0
∴

a+m

b+m

＞

a

b

故③正確；
④：函數(shù)y=xlnx求導(dǎo)得：y′=lnx+1，
把x=1代入導(dǎo)函數(shù)得：y′_|x=1=ln1+1=1，
則所求相切得斜率為1．
 y′=

(lnx)′x-lnx•x′

x2

=

1-lnx

x2

，
 y'（1）=1
又當(dāng)x=1時(shí)y=0
∴切線方程為y=x-1
切線相同，故④正確．
故答案為：①②④

點(diǎn)評：此題只要知道不等式的基本性質(zhì)，學(xué)生要用做差進(jìn)行因式分解與0進(jìn)行比較即可．此題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線方程上某點(diǎn)切線方程的斜率，求導(dǎo)法則運(yùn)用，以及簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，熟練掌握求導(dǎo)法則是解本題的關(guān)鍵．