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將一塊圓心角為，半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊矩形，如下圖所示有兩種裁法：(讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，如圖(1)；或讓矩形一邊與扇形的弦AB平行，如圖(2)，請問哪一種裁法能得到最大面積的矩形？并求出這個最大值．

答案：
解析：

　　解：在圖(1)中，連結OM，設∠AOM＝θ(＜θ＜)則矩形PQMN的面積為＝|PQ|·|QM|＝sinθcosθ＝200

　　在圖(2)中，過O作OD⊥AB，分別交PQ、MN于E、F，則∠AOD＝，設∠AOM＝(＜＜)，則|MF|＝40sin(－)．

　　在△OMQ中，由正弦定理，得

　　∴|MQ|＝

　　∴矩形PQMN的面積為＝|MN|·|MQ|＝

　　

　　∴當，即時，有最大值為

　　∵＞200，∴第二種裁法能得到最大面積是的矩形．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

將一塊圓心角為
π
3
半徑為a的扇形鐵片截成一塊矩形，如圖，有兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上（圖1）或讓矩形一邊與弦AB平行（圖2）
（1）在圖1中，設矩形一邊PM的長為x，試把矩形PQRM的面積表示成關于x的函數；
（2）在圖2中，設∠AOM=θ，試把矩形PQRM的面積表示成關于θ的函數；
（3）已知按圖1的方案截得的矩形面積最大為
3
6
a2，那么請問哪種裁法能得到最大面積的矩形？說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：044

將一塊圓心角為，半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊矩形，如圖有兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行，請問哪種裁法能得到最大面積的矩形，并求出這個最大值。

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

將一塊圓心角為，半徑為㎝的扇形鐵片裁成一塊矩形，有如圖(1)、(2)的兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行，請問哪 種裁法能得到最大面積的矩形？并求出這個最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

課外研究題：將一塊圓心角為，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學建議：這是一個研究性學習內容，可讓學生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習題課上讓學生交流研究結果，老師可適當進行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑上，或讓矩形一邊與弦平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結論．

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