Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）令c_n=nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_n+1=4a_n+2可得當n≥2時S_n=4a_n-1+2，將兩式作差可得b_n與b_n-1的關(guān)系根據(jù)等比數(shù)列的定義可證得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，從而求出{b_n}的通項公式；
（2）由（1）可得an+1=2an+3•2n-1，兩邊同除以2ⁿ⁺¹，可得{

an

2n

}是以

1

2

為首項，以

3

4

為公差的等差數(shù)列，從而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）先求出{c_n}通項公式，根據(jù)通項公式的特點可考慮利用錯位相減求解數(shù)列的和即可．

解答：解：（1）當n=1時，a₁+a₂=4a₁+2，∴a₂=5----------------（1分）
∵S_n+1=4a_n+2
∴當n≥2時S_n=4a_n-1+2，將兩式作差可得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
而b_n=a_n+1-2a_n，則b_n=2b_n-1------------------（3分）
∴{b_n}是以首項為3，公比為2的等比數(shù)列即b_n=3•2^n-1-------------------------（4分）
（2）an+1=2an+3•2n-1，兩邊同除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
∴{

an

2n

}是以

1

2

為首項，以

3

4

為公差的等差數(shù)列------------------------------（6分）
∴an=(3n-1)2n-2-----------------------------------（8分）
（3）∵b_n=3•2^n-1，∴c_n=nb_n=3n•2^n-1，
T_n=3×2+6×2²+…+3n•2^n-1，
2T_n=3×2²+6×2³+…+3n•2ⁿ，
將兩式作差可得Tn=3•2n(n-1)+3---------------（12分）（最后一問中間過程不給分，只看結(jié)果）

點評：本題主要考查了利用基本量表示的等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項，錯位相減求解數(shù)列的和，屬于數(shù)列的知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．