Question

下列命題：①若a＞b，則ac²＞bc²；②若ac²＞bc²，則a＞b；
③若a＞b，c＞d則a-d＞b-c；④若a＞b，則a³＞b³；
⑤若a＞b，則lg（a²+1）＞lg（b²+1），⑥若a＜b＜0，則a²＞ab＞b²；
⑦若a＜b＜0，則|a|＞|b|；⑧若a＜b＜0，則

b

a

＞

a

b

；
⑨若a＞b且

1

a

＞

1

b

，則a＞0，b＜0；⑩若c＞a＞b＞0，則

a

c-a

＞

b

c-b

；
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

分析：對(duì)于命題①②③⑥⑨利用作差法找到已知式子的等價(jià)變形的式子，借助于不等式的基本性質(zhì)加以判斷，對(duì)于④直接利用不等式的指數(shù)性質(zhì)即可判斷，對(duì)于⑤利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性加以判斷即可，對(duì)于⑦由于a＜b＜0，利用絕對(duì)值的意義即可判斷|a|＞|b|是正確的，對(duì)于⑧采用分式作差并通分技巧可以做出判斷，對(duì)于⑩若c＞a＞b＞0對(duì)于要證明的式子利用不等式的性質(zhì)構(gòu)造一些不等式，在利用不等式的性質(zhì)即可加以推得．

解答：解：對(duì)于①②中ac²＞bc²?（a-b）c²＞0?

c≠0 a＞b

，對(duì)于①若a＞b，當(dāng)c=0時(shí)，就得不到ac²＞bc²，所以①錯(cuò)；
對(duì)于②已知ac²＞bc²，說(shuō)明c≠0，只能得到a＞b，所以②正確；
對(duì)于③∵c＞d∴-c＜-d 又由于

a＞b -d＞-c

?a-d＞b-c，有不等式的同向可加性質(zhì)可以知道③正確；
對(duì)于④，利用不等式的指數(shù)性質(zhì)可知④正確；
對(duì)于⑤，由于a＞b，不知道a，b的正負(fù)，所以a²與b²的大小不能確定，在利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知⑤得到大小不確定，所以⑤錯(cuò)誤；
對(duì)于采用分析法⑥要求證a²＞ab＞b²?

a2-ab＞0 b2-ab＜0

?

a(a-b)＞0 b(b-a)＜0

∵a＜b＜0∴a-b＜0，可以知道此題正確；
對(duì)于⑦由于a＜b＜0，利用絕對(duì)值的意義即可判斷|a|＞|b|是正確的；
對(duì)于⑧若a＜b＜0，則

b

a

＞

a

b

，因?yàn)?span id="hsvcvvk" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

b

a

-

a

b

=

b2-a2

ab

＞0 由于a＜b＜0，所以ab＞0，且b²＜a² 則推出

b

a

-

a

b

應(yīng)該按條件小于0，所以⑧錯(cuò)；
對(duì)于⑩若c＞a＞b＞0，所以c-a＞0且c-b＞0且c-b＞c-a＞0?

1

c-a

＞

1

c-b

＞0 又由于a＞b＞0，有不等式的正直同向可乘性質(zhì)可以得到

a

c-a

＞

b

c-b

，所以正確；
故答案為②③④⑥⑦⑨⑩．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了不等式的基本性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，還考查了證明不等式時(shí)的等價(jià)變形及作差的技巧，還考查了絕對(duì)值的意義．